Kombinačné čísla
Počet k – prvkových podmnožín z n – prvkovej množiny vypočítame pomocou kombinačného čísla .
Príklad: = 1, pretože prázdna podmnožina z prázdnej množiny je len jedna.
= 3, pretože jednoprvkové podmnožiny z trojprvkovej množiny sú tri. Napríklad množina má jednoprvkové podmnožiny
= 6, pretože dvojprvkových podmnožín zo štvorprvkovej množiny je šesť. Napríklad množina má dvojprvkové podmnožiny
= 10, pretože trojprvkových podmnožín z päťprvkovej množiny je desať. Napríklad množina má trojprvkové podmnožiny
Francúzsky matematik Pascal zoradil kombinačné čísla do riadkov podľa počtu prvkov v množine a do stĺpcov podľa počtu prvkov v podmnožine:
Úloha: Dopíšte ôsmy až osemnásty riadok Pascalovho trojuholníka.
Vlastnosti kombinačných čísel
Úloha 1: Vypočítajte kombinačné čísla podľa vzorca pre kombinácie k –tej triedy z n prvkov = = = = =
Z hodnôt kobinačných čísel v Pascalovom trojuholníku sa dajú zistiť vlastnosti:
1) = 1 – prázdna množina je jedinou podmnožinou prázdnej množiny.
2) = 1 - prázdna množina je podmnožinou každej množiny.
3) = 1 - každá množina je podmnožinou samej seba
V prvých troch vlastnostiach sa dajú podmnožiny vybrať z množiny len jedným spôsobom. Preto sa každý riadok Pascalovho trojuholníka začína aj končí číslom 1.
4) - čísla v riadkoch Pascalovho trojuholníka sa od stredu opakujú. Hovoríme, že Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa priamky prechádzajúcej jeho stredom.
5) - súčtom dvoch susedných čísel v riadku Pascalovho trojuholníka dostaneme číslo v nasledujúcom riadku.
Úloha 2: Napíšte prvých šesť riadkov Pascalovho trojuholníka
Riešenie: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1